(2014•扬州模拟)从1,2,3,…,n这n个数中取m(m,n∈N*,3≤m≤...
(2014•扬州模拟)从1,2,3,…,n这n个数中取m(m,n∈N*,3≤m≤n)个数组成递增等差数列,所有可能的递增等差数列的个数记为f(n,m).
(1)当n=6,m=3时,写出所有可能的递增等差数列及f(6,3)的值;
(2)求证:f(n,m)>(n-m)(n 1)2(m-1).
解答:解:(1)符合要求的递增等差数列为:
1,2,3;2,3,4;3,4,5;4,5,6;1,3,5,2,4,6,共6个。
所以f(6,3)=6。…(4分)
(2)设等差数列首项为a1,公差为d,
am=a1 (m-1)d,d=am-a1m-1≤n-1m-1,
记n-1m-1的整数部分是t,则n-1m-1-1<t≤n-1m-1,即n-mm-1<t≤n-1m-1。
∴d的可能取值为1,2,…,t,
对于给定的d,a1=am-(m-1)d≤n-(m-1)d,
当a1分别取1,2,3,…,n-(m-1)d时,可得递增等差数列n-(m-1)d个。
所以当d取1,2,…,t时,得符合要求的等差数列的个数
f(n,m)=nt-(m-1)•t(t 1)2=-m-12t2 2n-m 12t,
设g(t)=-m-12t2 2n-m 12t,n-mm-1<t≤n-1m-1。
又g(n-mm-1)=-m-12(n-mm-1)2 2n-m 12•n-mm-1=(n-m)(n 1)2(m-1),
g(n-1m-1)=-m-12(n-1m-1)2 2n-m 12•n-1m-1=n-m 22•n-1m-1
且g(n-mm-1)-g(n-1m-1)=(n-m)(n 1)2(m-1)-n-m 22•n-1m-1=-1<0,
所以,当n-mm-1<t≤n-1m-1时,g(t)>g(m-nm-1)恒成立;
所以f(n,m)=g(t)>g(m-nm-1)=(n-m)(n 1)2(m-1)…。
。(10分)。
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答:中国人的数学理应比外国人好! 这是我的个人观点,这在于中国人对数字的发音是单音,因此,对数字的记忆较为简单,提高了学习数学的效率! 而科学的发展,往往受制于社会...详情>>
答:对于那些有志于穷尽数学奥秘的学生,他总是循循善诱地予以启发和教育,而对于那些急功近利、在学习上不肯刻苦钻研的人,则毫不客气地予以批评详情>>