首先分割的概念：假设有理数分为A，B两类，每类非空，且每一个有理数必属且仅属于一类。属于下类A的每一个数小于属于上类B的每一个数，这样的分类法称分割。 
若A类有最大数，或B类有最小数，则分割A/B确定一个有理数。否则确定一个无理数。 
有了这个概念，我们看： 
做出确定1的分割：一切有理数b>1归入B类，一切有理数a4 
若a+a' > 0 （小于则显然成立） 
则a与a'至少一个为正，从而a^2a'^2  4 
于是 a+a'0使得(1+1/l)^(l+1)l都有(1+1/k)^(k+1)<(1+1/l)^(l+1)则由极限的保续性可知(1+1/k)^(k+1)的极限<=(1+1/l)^(l+1)  根据这五条公理可以建立起一阶算术系统，也称皮亚诺算术系统。 
皮亚诺的这五条公理用非形式化的方法叙述如下： 
①1是自然数； 
②每一个确定的自然数 a，都有一个确定的后继数a' ，a' 也是自然数（一个数的后继数就是紧接在这个数后面的数，例如，1的后继数是2，2的后继数是3等等）； 
③如果b、c都是自然数a的后继数，那么b = c； 
④1不是任何自然数的后继数； 
⑤任意关于自然数的命题，如果证明了它对自然数1是对的，又假定它对自然数n为真时，可以证明它对n' 也真，那么，命题对所有自然数都真。
  (这条公理也叫归纳公设，保证了数学归纳法的正确性) 
若将0也视作自然数，则公理中的1要换成0。 
更正式的定义如下： 
一个戴德金-皮亚诺结构为一满足下列条件的三元组(X, x, f)： 
X是一个集合，x为X中一个元素，f是X到自身的映射 
x不在f的值域内。
   
f为一个单射。 
若 并满足: 
x∈A 且 
若 a∈A, 则f(a)∈A 
则A=X。 
该公理与由皮阿罗公理引出的关于自然数集合的基本假设: 
1。N(自然数集)不是空集 
2。N到N内存在a→a直接后继元素的一一映射 
3。
  后继元素映射像的集合是N的真子集 
4。若P任意子集既含有非后继元素的元素,又有含有子集中每个元素的后继元素,则此子集与N重合。 
能用来论证许多平时常见又不知其来源的定理! 
例如:其中第四个假设即为应用极其广泛的归纳法第一原理(数学归纳法)的理论依据。
   
证明： 
1+1的后继数是1的后继数的后继数，即3 
2的后继数是3 
根据皮亚诺公理④ 
可得：1+1=2。