证明： 由周期性如， 只需证明x∈[0，2π]不等式成立即可。 ⑴ 若x∈[π，2π]，则左边>0，右边≤0， 不等式显然成立。 ⑵ 若x∈[0，π/2]， ∵sinx+cosx =√2sin(x+π/4)≤√2cos(π/2-sinx)=sinsinx。
将x替换成coscosx， 使得coscoscoscosx>sinsincoscosx， 而正弦函数y=sinx在[0，π/2]递增， 即sinsincoscosx>sinsinsinsinsinx， 故coscoscoscosx>sinsinsinsinx成立。
⑶ 若x∈(π/2，π)，令y=x-π/2， 则由⑵中所证，得 coscos(cossiny)>sinsin(cossiny)>sinsin(sincosy) 即coscoscoscosx>sinsinsinsinx。 综上知，coscoscoscosx>sinsinsinsinx恒成立， 故命题得证。
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