全部答案

2011-06-11 16:18:58

• 令p(n)=e^n,代入得到3次方程
  e^3-e-1=0，
  这个方程有一个实根a,和一对共轭虚根A(cosθ±isinθ),则差分方程
  p(n)=p(n-2)+p(n-3)
  的通解是
  La^n+MA^ncosθn+NA^nsinθn,
  其中，L，M，N是任意常数。
  有了这个通解，就可以证得结论。
  可能有点麻烦。我没试过。
  

  全部
  

  日***

  2011-06-11 16:18:58

  43 6 评论

  分享
  提交评论
2011-06-11 11:20:11

•   已知：P(0)=p(1)=p(2)=1; p(n)=p(n-2)+p(n-3) 
  求证：[p(n)]^2－p(n+1)×p(n－1)=p(－n－7)
  本题可以理解为一个双边无穷数列(n∈Z) ,
  以下仅就n∈N*的情况用数学归纳法证之。
    
  【思路】
  先证：当 n=1、2、3 时，原命题成立；
  假设：当 1≤n≤k （k≥3）时，原命题成立，
  再证：当 n=k+1 时，原命题也成立。
  【过程】
  由
  p(0)=p(1)=p(2)=1; 
  p(n)=p(n-2)+p(n-3)
  推得：
  p(3)=p(0)+p(1)=2
  p(4)=p(1)+p(2)=2
  同样，由p(n-3) = p(n) - p(n-2)
  推得：
  p(-1)=p(2)-p(0)=0
  p(-2)=p(1)-p(-1)=1
  p(-3)=p(0)-p(-2)=0
  p(-4)=0
  p(-5)=1
  p(-6)=－1
  p(-7)=1
  p(-8)=0
  p(-9)=－1
  p(-10)=2
  当 n=1 时，原命题就是：
  [p(1)]^2-p(2)×p(0)=p(－8)
  左边= 1^2－1×1=0=右边
  此时，原命题成立。
    
  当 n=2 时，原命题就是：
  [p(2)]^2-p(3)×p(1)=p(－9)
  左边= 1^2－2×1=－1=右边
  此时，原命题成立。
  当 n=3 时，原命题就是：
  [p(3)]^2-p(4)×p(2)=p(－10)
  左边= 2^2－2×1=2=右边
  此时，原命题成立。
    
  假设：当 1≤n≤k （k≥3）时，原命题成立，
  即  [p(n)]^2-p(n+1)×p(n-1)=p(-n-7)
  证明：当 n=k+1 时，原命题也成立，
  即证：[p(k+1)]^2 - p(k+2)×p(k) = p(-k-8)
  推演过程不很复杂，只要心细，
  并灵活使用所给条件
  p(n)=p(n-2)+p(n-3) 
  和归纳假设 
  [p(n)]^2-p(n+1)×p(n-1)=p(-n-7) ，(1≤n≤k)
  就能从 [p(k+1)]^2 - p(k+2)×p(k)
  演算出 p(-k-8) 。
    
  [p(k+1)]^2 - p(k+2)×p(k)
  =[p(k-1)＋p(k-2)]^2 - [p(k)＋p(k-1)]×p(k)
  =[p(k-1)]^2＋[p(k-2)]^2＋2×p(k-1)×p(k-2) 
  － [p(k)]^2－p(k-1)×p(k)
  =[p(k-1)]^2＋[p(k-1)×p(k-3)＋p(-k-5)]＋2×p(k-1)×p(k-2) 
  － [p(k＋1)×p(k-1)＋p(-k-7)]－p(k-1)×p(k)
  =[p(-k-5)-p(-k-7)]＋[p(k-1)]^2＋p(k-1)×p(k-3) ＋2×p(k-1)×p(k-2)
  － p(k＋1)×p(k-1)－p(k-1)×p(k)
  =p(-k-8)＋[p(k-1)]^2＋p(k-1)×[p(k-3)＋p(k-2)－p(k)]
  ＋p(k-1)×p(k-2)－[p(k-1)＋p(k-2)]×p(k-1)
  = p(-k-8)＋p(k-1)×p(k-2)－p(k-2)×p(k-1) 
  = p(-k-8)
  。
    

  全部
  

  c***

  2011-06-11 11:20:11

  45 6 评论

  分享
  提交评论
2011-06-11 11:09:10

• 1+(n-1)p+(n-2)p^2+(n-3)p^3+(n-4)p^4+......+2P^(n-2)+p^(n-1)
  =1+n(p+p^2+p^3+...+p^(n-1))-p(1+2+3+...+(n-1))
  =1+np(p^(n-1)-1)/(p-1)-pn(n-1)/2
  =1+n(p^n-p)/(p-1)-pn(n-1)/2
  p(-n-应该是1)
  

  全部
  

  2***

  2011-06-11 11:09:10

  47 6 评论

  分享
  提交评论