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求(根号内9-x^2+2x^4sinx)dx  定积分   上限为3  下限为-3

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  • 2011-03-24 22:23:09
      求(根号内9-x^2+2x^4sinx)dx 定积分 上限为3 下限为-3
    应该是根号9-x^2 后面的不在根号内
    ∫[√(9-x^2)+2x^4*sinx]dx
    =∫√(9-x^2)dx+2∫x^4*sinxdx
    因为函数f(x)=x^4*sinx为奇函数,而奇函数在对称区间上的定积分为零。
      偶函数在对称区间上的定积分为其半区间上定积分的2倍 所以,原定积分=∫√(9-x^2)dx+0 =2∫√(9-x^2)dx 令x=3sint,则:x=0时,t=0;x=3时,t=π/2 且,dx=d(3sint)=3costdt =2∫3cost*3costdt =18*∫cos^2 tdt =18*∫[(cos2t+1)/2]dt =9*∫(cos2t+1)dt =9*[(1/2)sin2t+t]| =9*[0+(π/2)-(0+0)] =9π/2 或者由定积分的定义可以知道:2∫√(9-x^2)dx 表示的是圆x^2+y^2=9位于第一象限内面积的2倍,所以其面积等于圆x^2+y^2=9的面积的一半=(1/2)πr^2=(1/2)*π*9=9π/2。
      

    T***

    2011-03-24 22:23:09

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