三角形内格尔点重心内心共线,打印后附上 三角形的重心G，内心I和Nagel点N共线，且NG=2IG。 用三角形的重心坐标处理很简单,几何证法也不难。 为证明上述命题，首先给出两个引理。 引理1 在ΔABC中，，D是BC的中点，N是Nagel点，延长AN交BC于E，I是内心，AI延长后交BC于F。
求证：ID∥AE。 证明 令BC=a,CA=b,AB=c，p=(a+b+c)/2，不妨设b>c。 则BF=ac/(b+c) ，BE=p-c，CE=p-b。 于是有 DF=BD-BF=a/2-ac/(b+c)=a(b-c)/[2(b+c)] DE=BE-BD=p-c-a/2=(b-c)/2 所以得:DF/DE=a/(b+c)。
又易证 IF/AI=a/(b+c)。 因此得出 DF/DE=IF/AI。 故ID∥AE。 引理1证毕。 引理2 在ΔABC中，，D是BC的中点，K是CA的中点，N是Nagel点，延长AN交BC于E，I是内心，AI延长后交BC于F。
求证：AN=2ID。 证明 延长CI至M, 使得CI=IM，走AM，BM。 根据引理1得: IK∥BN，ID∥AN; 因为ID∥BM，2ID=BM，IK∥AM，2IK=AM; 于是AM∥BN，BM∥AM。 故四边形ANBM为平行四边形，即有AN=BM，BN=AM。
从而得:2ID=AN，2IK=BN。 引理2证毕。 下面运用上述两个引理来证△ABC的重心，内心和Nagel点共线。 证明 连AD，IG，NG，AN，ID。 根据引理1知：ID∥AN，所以∠NAG=∠IDG。 根据引理2知：AN/ID=2, 由重心性质知:AG/GD=2。
所以△AGN∽△DGI，故∠AGN=∠DGI。 因此 G，I，N三点共线，且NG=2IG。 。
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