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积分题

设f(x)与g(x)在[0,1]上都是单调的正值连续函数,并设I1,I2(见图片),下述四个命题:
①若f(x)单调减,g(x)单调增,则I1≤I2
②若f(x)单调增,g(x)单调减,则I1≥I2
③若f(x),g(x)都是单调减,则I1≥I2
④若f(x),g(x)
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设f(x)与g(x)……
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  • 2010-10-31 07:15:57
      这里就证明(1),(2)和(3)以及(4)的证明方法和(1)相同
    f(x)与g(x)在[0,1]上都是单调的正值连续函数
    要证明I1≤I2 
    也即要证明:
    ∫g(x)[f(x)]^2dx*∫f(x)dx≤∫g(x)f(x)dx*∫[f(x)]^2dx
    而∫g(x)[f(x)]^2dx*∫f(x)dx=[∫g(y)[f(y)]^2dy*∫f(x)dx+∫g(x)[f(x)]^2dx*∫f(y)dy]/2
    =∫∫×[g(y)f(x)[f(y)]^2+g(x)f(y)[f(x)]^2]/2dxdy
    ∫g(x)f(x)dx*∫[f(x)]^2dx=[∫g(y)f(y)dy*∫[f(x)]^2dx+∫g(x)f(x)dx*∫[f(y)]^2dy]/2
    =∫∫×[g(y)f(y)[f(x)]^2+g(x)f(x)[f(y)]^2]/2dxdy
    I1-I2=(1/2)*∫∫×{[g(y)f(x)[f(y)]^2+g(x)f(y)[f(x)]^2]-[g(y)f(y)[f(x)]^2+g(x)f(x)[f(y)]^2]}dxdy
    =(1/2)*∫∫×f(x)f(y)[f(x)-f(y)]*[g(x)-g(y)]dxdy
    由于f(x)与g(x)在[0,1]上都是单调的正值连续函数,
    则f(x)f(y)>0
    又若f(x)单调减,g(x)单调增,
    则[f(x)-f(y)]*[g(x)-g(y)]≤0
    于是f(x)f(y)[f(x)-f(y)]*[g(x)-g(y)]≤0,从而I1≤I2 
    同理可以证明(2)(3)(4)。
      

    潇xiao1...

    2010-10-31 07:15:57

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