已知0<x,y,z<1,证明:x(1-y)+y(1-? 爱问知识人

已知0x,y,z1,证明:x(1-y) y(1-z) z(1-x)1.

已知0x,y,z1,证明:x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)1.

9***

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2010-07-17 14:23:14
```
设f(x)=(1-y-z)x+y+z-yz-1,(0x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1.
证毕.
```
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柳***

2010-07-17 14:23:14

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  这道题有两种做法，这是第15届全俄数学奥林匹克试题，最经典的是构造法，
证一：
构造一个边长为1的正三角形ABC，在AB上取点D,AC上E,BC上去点F，使AD=1-z,DB=z,BF=1-x,FC=x,CE=1-y,AE=y
我们知道ΔADE、ΔBDF、ΔCEF这三个三角形面积之和要小于整个三角形的面积，即：
AD·AEsin(π/3)/2+BD·BFsin(π/3)/2+CE·CFsin(π/3)/2  。 。

h***

2010-07-17 15:16:56

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```
不会。。
```
全部
1***

2010-07-17 15:16:10

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等价于f(x)=x(y+z-1)+(1-y)(1-z)>0
i)当y+z-1>=0 ,不等式显然成立
ii) 当y+z-1f(1)=y+z-1+1+yz-y-z=yz>0

蒋***

2010-07-17 14:25:17

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