如果矩阵A有为0的特征值,那么它的伴随矩阵A^*只有2种可能。
1。
R(A)
A^*=0
2。
R(A)=n-1
A^*又有2种可能。
ⅰ。
0是A的特征多项式的重根，则A^*只有0为特征值。
ⅱ。
0是A的特征多项式的单根，
则A^*有0为特征值，为其特征多项式的n-1重根,
另外有一个非零特征值=A的n-1个非零特征值的积。
补：1。A的特征多项式=|λE-A|=f(λ),
如果矩阵A有为0的特征值,则f(λ)=λ^a*g(λ),
其中a>0,g(0)≠0。
这里a是0的算术重数，和R(A)的关系只是：
a>0《==》R(A)
2。
A^*只有0为特征值不是A^*=0的意思，如：
0，1
0，0
3。
R(A^*)=1的情况下，在前面2。中A^*特征值与A的关系已说清楚了。
A^*特征向量的关系是：
ⅰ。
0是A的特征多项式的重根，
则A^*只有0的特征空间=Im(A),即
A^*特征向量=AX,X为n维向量。
ⅱ。
0是A的特征多项式的单根，
A^*有0的特征空间=Im(A),
另外有一个非零特征值a的特征空间=
=A的0的特征空间={X,AX=0}。
。
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