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负无穷到正无穷的反常积分,被积函数如果是奇函数

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负无穷到正无穷的反常积分,被积函数如果是奇函数

从负无穷到正无穷的反常积分,被积函数如果是奇函数(或者关于x=x0,y=0点中心对称),为什么有的能直接写0,有的是发散?
问题出在哪里?

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好评回答
  • 2009-12-26 07:48:19
      ①如果你是“非数学专业”,那么我们的定义是
    ∫f(x)dx=lim∫f(x)dx,a与b独立,a→-∞,b→+∞并不同步。
    ②如果你是“数学专业”,那么我们就有两种完全不同的定义,一种与高数一样。
    另一种非常特殊,与高数不一样,
    ∫f(x)dx=lim∫f(x)dx----柯西主值。
       举例∫sinx dx,按常规定义 ∫sinx dx =lim∫sinx dx =lim[cosa-cosb]不存在(因为a与b独立,a→-∞,b→+∞并不同步)。 举例∫sinx dx,按柯西主值定义 ∫sinx dx =lim∫sinx dx =lim[cos(-a)-cosa]=0。
       ======================================================== 如果你是“非数学专业”,那么请牢牢记住: 无论 f(x) 是不是奇函数,当且仅当 ∫f(x)dx 和 ∫f(x)dx 同时都收敛,∫f(x)dx才收敛。
       否则∫f(x)dx发散。 ======================================================== 如果你是“数学专业”,那么请搞搞明白:【柯西主值】是一种特殊定义。 。

    山***

    2009-12-26 07:48:19

其他答案

    2009-12-26 06:49:20
  • 问题出在对广义积分定义的理解。
    广义积分定义都是只有一个瑕点或无穷,如果有两个,就必须分成两个只有一个瑕点或无穷的!只有这两个广义积分都收敛,才能说原广义积分收敛(注意,与级数不同!)。
    如∫f(x)dx=∫f(x)dx+∫f(x)dx
    其中f(x)为奇函数,若∫f(x)dx收敛,则
    ∫f(x)dx,否则发散。
    

    真***

    2009-12-26 06:49:20

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