Weitezenbock不等式的加强

设△ABC的三边长为a,b,c,ma,mb,mc是对应边的中线,面积为△，求证
a^2+b^2+c^2≥2√3△*a*ma (1)

2009-12-12 01:23 补充问题
设△ABC的三边长为a,b,c,ma,mb,mc;ha,hb,hc是对应边的中线和高,面积为△，求证
a^2+b^2+c^2≥4√3△*(ma/ha) (2)

评注：因为aha=2△,所以(2)等价于
a^2+b^2+c^2≥2√3*a*ma (3)
可见不等式(1)有误.

下面证明(3).
证明 由中线长公式：4(ma)^2=2b^2+2c^2-a^2知
(3)<==>(a^2+b^2+c^2)^2≥3*a^2*4(ma)^2
<==>(a^2+b^2+c^2)^2≥3*a^2*(2b^2+2c^2-a^2)
<==>a^4+b^4+c^4+2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2≥6a^2b^2+6c^2a^2-3a^4
<==>4a^4+b^4+c^4-4a^2b^2+2b^2c^2-4c^2a^2≥0
<==>(2a^2-b^2-c^2)^2≥0
最后一式显然成立，所以不等式(3)成立，从而不等式(2)成立.