一航
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Weitezenbock不等式的一个加强
20分
Weitezenbock不等式的一个加强
设△ABC的三边长为a,b,c,ma,mb,mc是对应边的中线,面积为△，求证
a^2+b^2+c^2≥√3△√(a*mc+c*ma)
设△ABC的三边长为a,b,c,ma,mb,mc是对应边的中线,面积为△，求证
a^2+b^2+c^2≥√3△√(a*mc+c*ma)
2009-12-13 09:54 提高悬赏20分
2009-12-12 01:23 补充问题
Weitezenbock不等式的一个加强
设△ABC的三边长为a,b,c,ma,mb,mc;ha,hb,hc是对应边的中线和高,面积为△，求证
a^2+b^2+c^2≥2√3△(mc/ha+ma/hc)
设△ABC的三边长为a,b,c,ma,mb,mc;ha,hb,hc是对应边的中线和高,面积为△，求证
a^2+b^2+c^2≥2√3△(mc/ha+ma/hc)
最佳答案
a^2+b^2+c^2≥2√3△(mc/ha+ma/hc)
<=>a^2+b^2+c^2≥√3(a*mc+c*ma)
<=>(a^2+b^2+c^2)^2≥3(a*mc+c*ma)^2 (1)
下证比(1)式更加的式子
4(a^2+b^2+c^2)^2≥3(a^2+c^2)(4ma^2+4mc^2) (2)
(由柯西不等式易知(2)比(1)强)
代入中线长公式：
4ma^2=2b^2+2c^2-a^2及4mc^2=2b^2+2a^2-c^2
并整理，得到(2)式等价于
(a^2-2b^2+c^2)^2≥0
显然成立。
<=>a^2+b^2+c^2≥√3(a*mc+c*ma)
<=>(a^2+b^2+c^2)^2≥3(a*mc+c*ma)^2 (1)
下证比(1)式更加的式子
4(a^2+b^2+c^2)^2≥3(a^2+c^2)(4ma^2+4mc^2) (2)
(由柯西不等式易知(2)比(1)强)
代入中线长公式：
4ma^2=2b^2+2c^2-a^2及4mc^2=2b^2+2a^2-c^2
并整理，得到(2)式等价于
(a^2-2b^2+c^2)^2≥0
显然成立。
回答：2009-12-12 12:13
提问者对答案的评价：
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