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一道课本上的习题求极限

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一道课本上的习题求极限

x趋近于0,(tanx-sinx)/x^3的极限.洛必达可以吗,怎么求?无穷小代换算出两个答案:i)tanx~sinx,答案显然是0ii)sinx~x,1-cosx~x^2/2,答案是1/2。是我哪里算错了还是思路错了?谢谢热心的高手们解疑

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好评回答
  • 2009-09-25 18:53:37
    差的时候不能随便用等价无穷小代换,单独的乘积可以,所以
    ii)是对的。
    i)答案是0一点都不显然。tanx~sinx没错,但这只能说明
    tanx-sinx=o(1),也就是说他们差的极限是零,仅此而已!
    当x→0时差的极限为0可以是和x同阶,当然也可以和x³同阶,怎么就一定等于零?正因为分子的极限是0,所以这题才是0/0的待定型。用麦克劳林公式很容易解释,不过tanx的不要求掌握。
    下面用洛必达法则来求。
    解:原式=lim(sec²x-cosx)/(3x²)
    =lim(sec²x-1+1-cosx)/(3x²)
    =(1/3)[lim(sec²x-1)/x²+lim(1-cosx)/x²]
    =(1/3)[lim(tan²x/x²)+(1/2)]
    =1/2

    真***

    2009-09-25 18:53:37

其他答案

    2009-09-26 04:45:58
  • tanx~sinx,答案不是0.而是0/0型. 因为tanx不等于sinx,只是分子分母同时无限趋近于0.
    正解:(tanx-sinx)/x^3=(sinx/cosx-sinx)/x^3=(1/cosx-1)x^2=
         =[1/(1-x^2/2)-1]/x^2=1/(2-x^2)=1/2 .OK!

    t***

    2009-09-26 04:45:58

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