需要这个定理：L(O)0},则 L(E(α,a))≤αU(a)。 这个定理，我不知道有没有简单的证明，由于较长，我不打了。 使用上面定理证明你的命题: L为R^n的Lebesque测度,Limsup为上极限。 u,v为正整数。Limsup为上极限。
1。 A(u,v)= ={x,Limsup{r→0}L(y,|y-x|1/u)/r^n>1/v} 根据Lusin得：任意1>α>0,有开集O,使L(O)0}的子集。 x∈A(u,v),若x不在E(α,1/v) ==> 有δ>0,使任意00,使任意01/u，y∈R^n-O}为空集 ==> {y,|y-x|1/u}={y,|y-x|≤r}∩O ==> L(y,|y-x|1/u)/r^n= =L({y,|y-x|≤r}∩O)/r^n1/u)/r^n>1/v矛盾。
所以x∈E(α,1/v)==> A(u,v)为E(α,1/v)的子集。 3。 根据2。和前面的定理得: L(A(u,v))≤L(E(α,a))≤αU(a)==> L(A(u,v))=0 ==> L(∪{1≤u,v}A(u,v))=0 而E={x,f在x处不近似连续}=(∪{1≤u,v}A(u,v)) 则命题得证。
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