§4 条件分布，随机变量的独立性 一、条件分布 在第一章曾经定义过事件的条件概率，同样也可以考虑一个随机变量的条件分布，其条件与另一随机变量取值有关。 仍从离散型开始。 设(ξ,η)的联合分布列为 P(ξ= ,η= ) = , i, j =1,2,…。
若已知ξ= (p ( ) >0 )，则事件η= 的条件概率为 P(η= |ξ= ) = P(ξ= ,η= )/ P(ξ= ) = / 。 j=1,2,…。 (1) 它表示在ξ= 的条件下η的条件分布。 在连续型的情况，因为对任何x, P(ξ= x) = 0, 故只能借助于密度函数。
ξ= x时η的条件分布函数可写成 P(η≤y|ξ= x) = P(η≤y| x 0 时,η的条件密度为 = 。 (2) 同理，当 (y)>0时，在η= y条件下ξ的条件密度为 (x| y) = 。
(3) 例1 设(ξ,η)～N (a, b, , ,r)，求条件密度 。 解 (ξ,η)的联合密度见上节(23)式，由本节(2)式立即可得 = exp (4) 它表明：已知ξ= x条件下，二维正态分布的条件分布是正态分布N (b + (x-a), (1- ) ),其中第一参数m = b + (x-a) 是x的线性函数，第二参数与x无关(见图)。
此结论在一些统计问题中很重要。 二、随机变量的独立性 现在我们把第一章随机事件独立性的概念移植到随机变量中来。 如果(ξ,η)是离散型随机向量，它的联合分布列由§3的 (2) 式表示，我们自然把ξ与η的相互独立定义为对一切i, j事件{ξ= }与{η= }都相互独立。
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