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求助证明一三点共线

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求助证明一三点共线

在ΔABC中,AD,AE分别是∠BAC的内,外角平分线,交BC于D,E,ΔABD,ΔACD的内心分别为I1,I2。
求证:I1,I2,E三点共线。

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好评回答
  • 2008-11-21 14:38:09
      在ΔABC中,AD,AE分别是∠BAC的内,外角平分线,交BC于D,E,ΔABD,ΔACD的内心分别为I1,I2。 
    求证:I1,I2,E三点共线。
    证明  设I1I2交AB于M,交AC于N,交AD于F,交BC于H。ΔABD,ΔACD的内切圆的半径分别为r1,r2。
       根据三角形面积公式得 S(AMF)/S(ABD)=(AM+AF)*r1/[(AB+AD+BD)*r1]=AM*AF/AB*AD (AM+AF)/AM*AF=(AB+AD+BD)/AB*AD 1/AM+1/AF=(AB+AD+BD)/AB*AD; (1) 同理可证: 1/AN+1/AF=(AC+AD+CD)/AC*AD。
       (2) 因为AD是∠BAC的内角平分线,所以 AB/BD=AC/CD AB*CD=AC*BD (3) (1)-(2)得: 1/AM-1/AN=(BD*AC+AD*AC-AD*AB-CD*AB)/AB*AC*AD =(AC-AB)/AB*AC=1/AB-1/AC 1/AM-1/AB=1/AN-1/AC (AB-AM)/AB*AM=(AC-AN)/AC*AN BM/AB*AM=CN/AC*AN (AM/MB)*(CN/AN)*(AB/AC)=1 (4) 对于ΔABC和直线MNH,满足梅涅劳斯定理: (AM/MB)*(BH/HC)*(CN/NA)=1 (5) 比较(4)与(5)式得: AB/AC=BH/CH。
       (6) 而AE是∠BAC的外角平分线,则 AB/AC=BE/CE。 (7) 故E与H重合,E在直线I1I2上,也就是三点共线。证毕。 。
      

    maxlov...

    2008-11-21 14:38:09

其他答案

    2008-11-28 16:35:35
  • 考虑三角形BI1A,和CI2A,两者对应边交点共线于AD是明显的,所以它们对应点连线共点!
    只不过要用到角BAI1=CAI2;DAI1=DAI2所以过公共点A的直线应该是与AD垂直的直线,这里恰好是AE!

    bolobo...

    2008-11-28 16:35:35

  • 2008-11-25 19:59:47
  • 1/AM-1/AN=(BD*AC+AD*AC-AD*AB-CD*AB)/AB*AC*AD 
    =(AC-AB)/AB*AC=1/AB-1/AC 
     1/AM-1/AB=1/AN-1/AC 
     (AB-AM)/AB*AM=(AC-AN)/AC*AN 
    BM/AB*AM=CN/AC*AN 
     (AM/MB)*(CN/AN)*(AB/AC)=1 (4) 
    对于ΔABC和直线MNH,满足梅涅劳斯定理: 
    (AM/MB)*(BH/HC)*(CN/NA)=1 (5) 
    比较(4)与(5)式得: 
    AB/AC=BH/CH. (6) 
    而AE是∠BAC的外角平分线,则 
    AB/AC=BE/CE. (7) 
    故E与H重合,E在直线I1I2上,也就是三点共线。证毕。 
    

    zhangj...

    2008-11-25 19:59:47

  • 2008-11-21 20:11:51
  • 我的解法比上面的简单,但上面的那么详细,也对的,我也只好甘拜下风了。

    快乐就好

    2008-11-21 20:11:51

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