已知一个三角形的两个角平分线相等， 如何证明它是一个等腰三角形？ 这就是著名的斯坦纳--莱默斯定理。1840年,莱默斯[C。L。Lehmus]在给斯图姆[C。Sturm]的一封信中提出的，他请求给出一个纯几何的证明，斯图姆向许多数学家提到此问题。
首先回答的是瑞士大几何学家斯坦纳[J。Steiner]。后来该定理就以斯坦纳--莱默斯定理定理而闻名于世。在1965年的一篇报道中提到该定理约有60多种证法。下面给出两种证法。 己知 在△ABC中，BE,CF是∠B，∠C的平分线，BE=CF。
求证:AB=AC。 证法一 设AB≠AC,不妨设AB>AC，这样∠ACB>∠ABC，从而∠BCF=∠FCE=∠ACB/2>∠ABC/2=∠CBE=∠EBF。 在△BCF和△CBE中，因为BC=BC, BE=CF，∠BCF>∠CBE。 所以 BF>CE。
(1) 作平行四边形BEGF，则∠EBF=∠FGC,EG=BF,FG=BE=CF，连CG， 故△FCG为等腰三角形，所以∠FCG=∠FGC。 因为∠FCE>∠FGE，所以∠ECGEG=BF。 (2) 显然(1)与(2)是矛盾的，故假设AB≠AC不成立，于是必有AB=AC。
证法二 在△ABC中，假设∠B≥∠C，则可在CF上取一点F'，使∠F'BE=∠ECF'，这有CF≥CF'。 延长BF'交AC于A',则由∠BA'E=∠CA'F',有ΔA'BE∽ΔA'CF'。 从而A'B/A'C=BE/CF'≥BE/CF=1。
那么在△A'BC中，由A'B≥A'C，得: ∠A'CB≥∠A'BC，即∠C≥(∠B+∠C)/2，故∠B≤∠C。 再由假设∠B≥∠C，即有∠B=∠C。 所以△ABC为等腰三角形。 。
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