在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=20°，N为形内一点，且∠NAB=40°，∠NBC=30°，求∠NCB=？ 证明 过点N作AC的垂线与BA的延长线交于P，在AN延长线上取一点Q，使∠QBC=30°，连PC，QC，QB，PQ。 由∠PAC=70°=∠NAC，可知点P与点N是关于AC对称，即得:PC=CN。 由∠NAB=40°，∠ABC=50°，可知AQ⊥BC，即知点Q与点N是关于BC对称，即得:QC=CN，PC=QC。 易知△BQN是正三角形，即有NB=NQ。 由∠NPA=90°-∠PAC=20°=∠NBA，可知NP=NB，NP=NQ。 因此△PNC≌△QNC，可知∠NCP=∠NCQ，即2∠NCA=2∠NCB。 故得:∠NCA=∠NCB，从而∠NCB=∠ACB/2=10°.证毕。 参见:
解：作ND垂直AC于D，延长ND交BA延长线于E；延长AN交BC于F。 于题得，∠CAB=110°，所以，∠EAD=∠NAD=70°。 所以，∠DEA=∠DNA=20°。 所以，DE=DN=（1/2）EN。 因为，∠ABC=50°，∠NBC=30°， 所以，∠NAB=20°。所以EN=NB。 因为，∠NAB=40°，∠ABC=50°，所以，∠AFB=90°。 因为，∠NBC=30°，所以，NF=（1/2）NB=（1/2）EN=ND。 所以，N点∠ACB的平分线上，CN平分∠ACB。 所以∠NCB=10°（附图）
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