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三角函数,会的帮看看

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三角函数,会的帮看看

A、B、C是三角形的三个内角求证:

(sinA的平方+sinB的平方+sinC的平方)小于等于9/4

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  • 2008-02-17 21:27:06
      证明
    sin²A+sin²B+sin²C≤9/4
    即:
    2sin²A+2sin²B+2sin²C-9/2≤0
    -(2sin²A+2sin²B+2sin²C)+9/2≥0
    3-(2sin²A+2sin²B+2sin²C)+3/2≥0
    即:
    cos2A+cos2B+cos2C+3/2≥0
    2C =2π-2(A+B) ===>cos2C=cos2(A+B)
    所以,只需,
    cos2A+cos2B+cos2(A+B)+3/2≥0
    即
    2cos(A+B)cos(A-B)+2cos²(A+B)+1/2≥0
    2[cos(A+B)+(1/2)cos(A-B)]²-(1/2)cos²(A-B)+1/2≥0
    显然,2[cos(A+B)+(1/2)cos(A-B)]²≥0
    -(1/2)cos²(A-B)+1/2≥0
    所以,2[cos(A+B)+(1/2)cos(A-B)]²-(1/2)cos²(A-B)+1/2≥0
    所以,原不等式成立。
       。

    123456

    2008-02-17 21:27:06

其他答案

    2008-02-21 18:14:58
  •   证明 
    sin²A+sin²B+sin²C≤9/4 
    即: 
    2sin²A+2sin²B+2sin²C-9/2≤0 
    -(2sin²A+2sin²B+2sin²C)+9/2≥0 
    3-(2sin²A+2sin²B+2sin²C)+3/2≥0 
    即: 
    cos2A+cos2B+cos2C+3/2≥0 
    2C =2π-2(A+B) ===>cos2C=cos2(A+B) 
    所以,只需, 
    cos2A+cos2B+cos2(A+B)+3/2≥0 
    即 
    2cos(A+B)cos(A-B)+2cos²(A+B)+1/2≥0 
    2[cos(A+B)+(1/2)cos(A-B)]²-(1/2)cos²(A-B)+1/2≥0 
    显然,2[cos(A+B)+(1/2)cos(A-B)]²≥0 
    -(1/2)cos²(A-B)+1/2≥0 
    所以,2[cos(A+B)+(1/2)cos(A-B)]²-(1/2)cos²(A-B)+1/2≥0 
    所以,原不等式成立。
       。

    2008-02-21 18:14:58

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