难题1..
难题1
36.满足条件的等差数列{a<n>}有两个;(A)
证明：(1)设S<n>是等差数列{a<n>}的前n项和，1/3S<3>与1/4S<4>的等比中项为1/5S<5>,且1/3S<3>与1/4S<4>的等 差中项为1 ==>(A)
(2)等差数列{a<n>}的通项a<n>是关于x的方程x^2-(n+1)x+n=0的根 ==>(A)
证明;(1)。设等差数列{an}的首项为a1,公差为d。则
S3=3a1+3d,于是(1/3)S3=a1+d。。。。。。。。。。。。。。。。。(1)
S4=4a1+6d,于是(1/4)S4=a1+(3/2)d。。。。。。。。。。。。(2)
S5=5a1+10d,于是(1/5)S5=a1+2d。
。。。。。。。。。。。。。。(3)
依题意,[(1/3)S3][(1/4)S4]=[(1/5)S5]^2。即
(a1+d)[a1+(3/2)d]=(a1+2d)^2,化简得3a1+5d=0。。。(4)
再依题意有 (1/3)S3+(1/4)S4=2,即
(a1+d)+[a1+(3/2)d]=2,化简得4a1+5d=4。
。。。。。。。。。。(5)
(4)(5)联立求解,得a1=4,d=-12/5。
故有等差数列an=4-(12/5)(n-1)=-(12/5)n+32/5。。。。。。。。。。。(一)
等比中项的条件还有另一种表示方式,即:
取(1/3)S3=-(a1+d); (1/4)S4=-[a1+(3/2)d]。
从而也有(4)式。这时由
-(a1+d)-[a1+(3/2)d]=2,得4a1+5d=-4。。。。。。。。。。。。。(6)
(4)(6)联立求解得a1=-4, d=12/5。
于是得到另一个同样满足要求的等差数列: an=-4+(12/5)(n-1)=(12/5)n-32/5。
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。(二)。
故(A)得证。
(2)。由方程x^2-(n+1)x+n=0,
得(x-n)(x-1)=0,故x1=n, x2=1。
取an=n,这是一个自然数列,即首项为1,公差为1的等差数列。
再取an=1,这是一个首项为1,公差为0的等差数列。
故命题(A)也成立。
。
答：证明：(1/5S<5>)^2=(1/3S<3>)(1/4S<4>) 即(5S<5>)^2=(3S<3>)(4S<4>) (1/3S<3>)+(1/4S<4>)=...详情>>
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