这种说法应该只在概率论里成立.可以证明有理点在数轴的出现几率为零,而任取一点是无理点的几率为1. 但是数学有几十个分支,所以概率论的说法并非可以在其它分支成立. 首先有理点不连续是可证的,但是无理点是否连续呢? 集合论的创始人康托尔曾经提出著名的康脱尔猜想:两个连续的势之间没有其它的势. 1963年美国数学家柯恩证明:此猜想独立于集合论系统之外.也就是这个猜想永远不可证. 所以无理数是否连续的问题就如几何学的第五公设和集合论的选择公理一样----既无法证明也无法驳倒. 也就是说,在集合论里来定义无理数连续不会推导出矛盾,定义为不连续仍然不会推导出矛盾.所以说明在概率论里证明的结果在集合论里不成立. 因为在讨论里有人问到,所以做一下补充说明.
这是定义啊！帅哥。是前人归定，统一用的！
内容提要:自然数,分数,负数,无理数和虚数都可以而且应该定义为测量的结果。\"实数是连续的\"这一命题从来没有被证明(它是一条公设或公理),\"复数是连续的\"是其合乎逻辑的发展----在\"复数体\"之内, 目前已知的所有运算都能够施行。刘绍光的\"一元数理论\" 通过\"直接在实空间中进行实虚权衡\"的方法解决了有一部分复连续空间中的物理量(即虚空间中的物理量) 在目前还不能够测量的问题,使得理论物理学在爱因斯坦和量子力学之后获得重大进展。
关键词:数,连续,一元数理论。 1。 引言 近代物理学是从如下三个重大认识开始起步的:1。空间点与空间点都是对等的,不同的空间参照系不会影响物理事件的观测结果(伽里略的空间相对性原理) ;2。力学系统中质点的相互运动存在规律性(开普勒的行星运动三定律);3。
每两个质点之间都存在引力,引力大小与这两个质点的质量之积成正比,与其间距离的平方成反比,比例系数取决于测量单位或量纲(牛顿第一定律) ,作用在质点上的任何不为零的合力都会改变质点的运动状态(产生加速度) ----方向的变化与合力的方向相同,大小的变化等于合力的大小除以质点的质量(牛顿第二定律),对其它质点施加的任何力(含引力),都会从其它质点受到反向而等值的力(牛顿第三定律) 。
在这三个认识之中,\"时间\"的影响很少深入探讨,时间只是作为一个参量出现在速度和加速度之中。至于空间和时间本身是否有其内在结构,则毫无涉及。 爱因斯坦狭义相对论把\"光速不变\"作为基本假设(公理,继上述三大认识之后的第四个重大认识) ,开始探讨\"同时性\"和\"长度测量\"的相关(例如\"时滞效应\"和\"尺缩效应\"),把时间看作四维时空中的一维(时空相对性原理----时间与空间的对等性;这种对等性使得时间与空间同样作用于 \"质量增加效应\":运动质量表式中的速度是空间距离对时间的导数)。
量子力学中的\"测不准原理\"从另一个角度讨论空间和时间的相对性----在较小尺度或较大速度的情况下,不可能同时准确测定位置(空间)和动量(其表式中的速度是距离对时间的导数) 。 爱因斯坦广义相对论进一步涉及空间本身的内在结构(黎曼几何中的弯曲空间) 。
光的波粒二象性则显示出时间的内在结构:以光速为测量单位, 可将波长视为空间标度,将频率视为时间标度。不同颜色(频率)的光波即可视为不同的时间结构(\"红移\"现象源于时滞效应)。 刘绍光(1897--1989)的\"一元数理论\"直接涉及时空内在结构,他的基本假设(以下简称刘氏基本假设) 是:任何空间单元或时间单元都有双重测度----\"矛\"和\"盾\"。
矛和盾的组合千变万化,但是,其中只有五种组合方式最为常见:1。一元抛物线幂数程序,2。一元正负交叉双曲线幂数程序, 3。 一元高级抛物线幂数程序,4。一元对数抛物线幂数程序, 5。一元的等角对数螺线幂数程序。推论(一元的开阖定理)是:测量单位本身(\"1\"或\"整元\")也是双重的----它等于阖的因数(可以是0。
9,0。45,0。3等等)乘以开的因数(如1。1111。。。。1,2。2222。。。。2,3。3333。。。。3等等)([1]第5--8页)。时空结构决定了质点的运动和物质体系的组成, 因此,存在着一些特定的基本数量(类似于引力常数,光速,普朗克常数等),即\"律数\"([1]第1--5页)。
刘绍光用他的一元数理论不仅推算出了已有的各种物理化学理论所得到的结果, 而且还推算出了已有的各种物理化学理论所没有得到的许多结果并与观测结果相符。但是,由于上述的刘氏基本假设与近现代数学物理的发展之间存在\"断层\", 至今只有少数青年学者认真探讨[2],大多数学者则对其\"敬而远之\"----既不能轻易否定,也难以表示首肯。
笔者以为:这个断层源于如下的问题:实数是不是连续的?更通俗地说:实数能不能填满这页纸的一条边线(直线段)? 从伽里略到爱因斯坦的空间和时间都是\"实连续的\",而刘绍光却直接利用了\"复连续时空\"的数学推论----他的矛和盾正是实单位和虚单位, \"对数螺线\"也正是复数p*exp(ia) 在一定取值范围内所表示的\"对数曲线\"( p是复数的模,exp表示自然对数,i是虚单位,a是复数的辐角)。
本文将论证: \"实数是连续的\"是个公设(实连续公设),从来没有被任何人证明过,因此不是定理。 另一方面,虚数和无理数,以及分数和负数,都象自然数一样,可以而且应该定义为测量的结果(数的相对性原理, 即不同数类之间的对等性;参见前述的空间相对性原理和时空相对性原理)。
由此,至少可以从公理化系统的角度说明:上述的刘氏基本假设确是近现代数学和物理的一个合乎逻辑的发展。 他的\"一元数理论\"之所以在半个世纪中受到忽视, 是\"测量落后于运算\"所造成的认识上的后果----自然数中心论和试图证明实数是连续的。2。
数是测量的结果 测量是选定单位与被测对象的对应, 以及该单位的各级亚单位与被测对象的各级剩余部分的对应。 其中,一级亚单位以进位制的次数与选定单位相对应,二级亚单位以同一进位的次数与一级亚单位相对应,依此类推。 如果选定单位以有限次数与被测对象对应, 那么测量结果是正整数,即自然数。
如果选定单位以有限级亚单位的有限次数与被测对象对应, 或以无限级亚单位的循环次数与被测对象对应, 那么测量结果是分数。在正空间和正时间中测量的其它结果是无理数(这类结果的存在性可以证明, 参见下节)。用正空间和正时间中的单位对负空间和负时间中的被测对象进行测量的结果是负数(这类测量的可操作性参见下节) 。
无法用正空间和正时间中的测量单位完成测量的被测对象,则与虚数的测量结果相对应(这类测量的逻辑合理性参见下节)。 零是测量的起点,或者说是测量的初始结果。正整数,正分数,负整数,负分数和零,合称有理数; 有理数与无理数(正,负)合称实数;实数与虚数合称复数。
也就是说,一切数都是对等的----它们都是测量的结果。这是数学中的相对性原理,正与物理学中的相对性原理相应(参见上节)。3。自然数中心论源于测量滞后于运算 有不少数学家认为: 无理数与自然数有着本质上的不同:自然数可以\"自定义\"(仅利用集合,序,对应等初始概念进行定义),而无理数却要用相互具有运算关系的两个自然数所组成的序偶(或数对) 来定义(如 3/2 中的2和3) ;甚至要用无穷多个有理数才能定义(如狄台金与康托定义,参见后文)。
不仅如此,在某些数学家看来,分数和负数也要用序偶来定义(如 2/3 中的2和3,又如 2-3 中的2和3)([3]第74--270页)。如果说用序偶来定义无理数类似于天文学中用地球定义冥王星(该行星是先被计算认定,后被观察发现的),那么用序偶来定义分数和负数就类似于于天文学中用地球定义火星和木星----自然数或地球成了\"自然的\"或\"中心的\",而其它的数类或行星则成了\"使然的\"或\"次生的\"。
把自然数作为\"中心\", 有别于分数, 无理数,负数和虚数,这种认识上的内在缺陷源于: 近代数学的基本框架是在测量技术相对落后的状况下形成的;与此同时,数学的运算技术却已超前发展----当人们还没有意识到各级亚单位的重要性时, 除法运算已给出了分数; 当人们还不知道有可能出现无限不循环的测量结果时, 开方运算已经给出了无理数;当人们还不知道正空间中的测量单位有可能测出负的结果时,减法运算已经给出了负数; 当至今为止的不少人还没有认识到有些事物根本不可能用正空间中的单位来完成测量时,负数开偶次方的运算已经给出了虚数。
这样,人们只好用自然数和运算(除,开方,减等)去定义其它的数,从而导致了数与数之间的不对等现象----自然数源于计数或测量的需要(最初的测量单位是手指, 手指关节,等,参见[3]第74--75页),其它数类却是源于运算的需要(\"在集合A中不能施行的或者不是经常能施行的某种运算,在B中应能施行\",[3]第120页)。
分数出现于负数之前,因为进位制和亚单位较早被古文明民族所利用([3]第119页)。时至今日,测量技术的发展已经使大多数人很容易认识到分数是测量的结果,不必依靠除法运算来定义分数----现代的基础测量单位是根据地理空间小段和太阳视运动的时间小段来厘定的\"米\"和\"秒\",利用它们的亚单位(毫米,微米;毫秒,微秒,等),人们就能完成有关测量。
近代物理学的发展使得科学家们认识到:在一定的操作或实验观察中,可以用正空间中的单位测出负的结果(负数),因此,没有必要用减法运算来定义负数。例如,在黑洞发射的现象中,以正粒子作为测量单位,就可以测出负空间中的粒子数为负数----通常所说的\"真空\"作为场的基态([4] 第445页)是零,负的被测对象(电子,带负电荷)进入黑洞,在正空间中留下孤独的正电子,\"其总效果看起来就如同黑洞在发射一样\"([5]第137页)。
更具操作性的实验是一个负电子与一个正电子在真空中湮没为一对光子,其中,正电子的出现说明负的被测对象在某些实验条件下也可以是测量的结果。 有些现代公民由于不了解黑洞和湮没现象而难以想象正空间中的测量单位可以得到负的测量结果; 这正象有些孑遗部落居民由于不了解五个手指之外的测量单位而难以想象大于五的数, 甚至由于不了解三个手指关节之外的测量单位而难以想象大于三的数([3]第75页)。
目前还没有什么测量单位能使人们在测量过程中观测到无理数或虚数的测量结果,因此,无理数和虚数的存在,是通过有理数及其运算来加以证明的。例如,只要证明 /2 不是有理数, /-2 不是实数就可以了。但是,这类证明只是告诉人们:存在着不同于自然数,分数,负整数,负分数类型的测量结果(参见上节);却绝不是告诉人们:有一些被测对象不可测出结果,也不是告诉人们:有一些测量结果比另一些测量结果更\"有理\"或更\"实在\"。
其实, 同一个被测对象,其测量结果到底是有理数还是无理数,完全取决于人为选定的单位。例如,一个正方形的边长,如果以它自己的长度为测量单位,测量结果就是有理数\"1\"; 但如果以这个正方形的对角线长度作为测量单位, 测量结果就成了无理数 \" /2/2\" 。
因此,无论\"运算\"在发现某一事物(含测量结果)的过程中起了多么大的作用,都不能替代那个事物本身----无理数和虚数都是测量的结果,而不是有理数运算的结果。这正如冥王星是一颗行星,而不是其它行星运算的结果一样(尽管其它已知行星的轨道及有关参数的运算在发现冥王星的过程中起了不可或缺的作用)。
总之,任何数都是对等的,它们都是测量的结果。作为数学中的相对性原理,它相应于物理学中的相对性原理(参见本文第一节) :\"任何时空点都是平等的\"([5]第5页)。\"自然数中心论\"已经被亚单位的采用和近代物理的发展所否定,\"有理数中心论\"也一定会随着测量技术的进步而被否定----无理数和虚数的测量结果一定能够被人们观察到(如采用动态的测量单位以及与生命现象相关的测量单位,等等)。
4。\"实数是连续的\"从未被证明:\"复连续\"发展\"实连续\" \"自然数中心论\"象\"地球中心论\"一样,妨碍人类认识客观世界。例如:对于\"实数是连续的\"这一命题, 就有一些数学家认为它是一个可以被证明的\"定理\"([6]第9--11页)。
于是,他们误认为人类已知的\"实空间\"之中已经不存在任何\"空隙\",\"可积的\"微分方程能够描述一切物理现象。这正如\"地球中心论\"者们认为宇宙是如此完美,托勒密的\"本轮\"体系能够描述一切天体现象。 其实,任何一个试图证明\"实数是连续的\"这个\"定理\"的数学家,全都无例外地在定义无理数时不自觉地利用了\"实数是连续?quot;这一命题,因此有关证明属于循环论证,不能成立(这一命题是一个公设,不是定理,所以文中把\"定理\"二字打上了引号)。
从逻辑上来看,无论用\"分割\",还是用\"区间序列(区间套)的极限\"来定义实数(参见下文),都是试图用有理数去定义无理数。这种作法与\"自然数中心论\"直接相关----既然可以用自然数和\"运算\"去定义分数, 为什么不可以用有理数和\"分割\"(与\"运算\"一样,这也是一种相关\"操作\")去定义无理数? 一旦认识到用自然数和运算去定义分数的作法就违背了数学分析的内在逻辑(正如用已知行星及其轨道相关去定义冥王星, 违背天文学的内在逻辑,参见上节),那么就可以知道: 一切\"形式地建立实数理论\"([3]第173页)的作法都缺乏逻辑根据----数的形式(静态形式如数的集合与大小顺序, 动态形式如运算,等)不能取代数的实质(测量的结果,参见本文第2节)。
例如,在狄台金基本\"定理\"(实数的连续性)的证明过程中,首先使用\"分割\"来定义有理数和无理数, 即:把全部有理数的集合分成两个非空的集合A,A\',使得每一个有理数在而且只在A与A\'两个集合的一个中,并且集合A中每一个数a小于集合A\'中每一个数a\'([6]第2页);然后用这种分割来定义实数:如果某一分割使得下类A中没有最大的数,而在上类A\'中有最小的数 r, 或使下类A中有最大的数r, 而在上类A\'中没有最小的数(第一类分割),那么这分割定义了有理数r;如果某一分割使得下类A中没有最大的数,而在上类A\'中没有最小的数(第二类分割),那么这分割定义了某一个无理数([6]第4页)。
为什么每一种第二类分割能够只定义\"一个\"无理数?换句话说,与这种分割所对应的\"非有理数\",为什么只是\"一个\",而不是若干个,甚至是无限个?回答是:只有事先假设了\"实数是连续的\",每一种第二类分割才能够只定义一个无理数----由于有理数与无理数之间不存在\"空隙\", 所以,只要在集合A与A\'中都不包含\"确界\"有理数(集合A中不包含最大有理数,集合A\'中不包含最小有理数),那么就对应于\"一个\"无理数。
由于用分割定义实数时已经利用了\"实数是连续的\"这一命题(认其为真) ,所以在此基础上对于狄台金基本定理(实数集合是连续的, 或完备的, 或密接的,[6]第10页)的证明,只是循环论证,从而不能成立。 与狄台金(又译\"戴德金\")类似,康脱尔用\"极限\"来\"形式地建立实数理论\"([3]第173--207页) ,也在证明\"实数是连续的\"之前,就利用了这一命题----否则,就不能保证闭区间序列的极限只对应于\"一个\"数([3] 第248页);因此,有关证明也属于循环论证,从而不能成立。
由于\"实数是连续的\"这一命题从来没有被证明, 所以它是一条公设或公理----它只在一定的认识框架内适用(正如\"平行公理\"只在欧几里德几何学中适用)----它只是人们在一定的观测条件下的假设(一切公理都是假设) ,它不能保证人类已知的实空间是连续的,更通俗地说:任何人都无法证明实数能够填满这页纸的一条边线(直线段)。
因此,一个合乎逻辑的发展就是: 复数是连续的(正如在黎曼几何学中,从一点可引多于一条的平行线与已知直线平行)---- 在\"复数体\"之内,目前已知的所有运算都能够施行([3]第251--270页)。5。小结:浅析刘氏基本假设的物理内涵 在复连续的空间中,只有一部分物理量(即实空间中的物理量)是目前能够测量的,另一部分物理量(即虚空间中的物理量)是目前所不能测量的(参见本文第2节)。
这个重大障碍使得理论物理学在爱因斯坦和量子力学之后的进展十分迟缓。 刘绍光独辟蹊径----直接在实空间中进行实虚权衡----首先,从实空间的物理量(矛,或C)中减去或加上虚空间体现在实空间中的物理量(盾,或D);然后,用\"矛与矛盾之差之比\"或\"矛与矛盾之和之比\"作为基本物理量。
对于虚空间体现在实空间中的主要物理量,则用\"盾与盾矛之差之比\"和\"盾与盾矛之和之比\"作为基本物理量。这样,就得到了一元抛物线幂数程序和一元正负交叉双曲线幂数程序的系数(参见本文第1节和[1]第6页)。虚空间的物理量之所以能够体现在实空间之中, 是因为\"虚乘虚为实\"----虚单位之前的系数本身还可以是复数, 其中的虚数部分乘以虚单位之后就成为实数----本来是不可在实空间中观测的物理量,转变为可在实空间中观测的物理量。
这一物理量为负则\"减\",为正则\"加\"。 上述的\"矛与矛盾之差之比\"或\"矛与矛盾之和之比\"等,本身仍然可能是复连续的(在更深入的探究中,每个矛的本身仍有矛和盾),因此可以重复运用上述的实虚权衡方法。这样就得到了一元高级抛物线幂数程序的系数(参见本文第1节和[1]第7页)。
将上述的实虚权衡方法用于自然对数以描述更为普遍的复连续物理量(参见本文第一节),就得到了一元对数抛物线幂数程序的系数。用\"辐角\"来参与高级的实虚权衡,就得到了一元的等角对数螺线幂数程序的系数(参见本文第1节和[1]第7页)。 在一元的开阖定理中, 阖的因数和开的因数是更具体的几种实虚权衡的结果----分别给矛和盾进行加权 (参见本文第1节和[1]第8页)。
因此, 可以说,刘氏基本假设确是近现代数学和物理的一个合乎逻辑的发展。刘绍光在此基础上建立了他的一元数理论----他通过\"数字拟合\"方法来推算一定空间结构中的物理化学现象, 很类似于现代物理中用公式进行推算。不同之处在于:由于边界条件已被考虑在空间结构之内,所以一旦某一系统之中的一部分数据被成功地拟合,就可将有关序列用于系统的其它部分。
这一讨论已超出本文范围,故从略。 伽里略--牛顿--爱因斯坦的方法是从可以准确加以测量的真实的物理实体和事件中抽象出非真实的(或\"重设的\") \"质点\"以及\"质点之间的作用力\"等相对单纯的概念,通过实验建立起用代数符号表达的定律和线性相关的公式, 最后再设法放宽实验条件并把代数符号转换为数字系列,以便应用于真实的物理世界。
这种认识世界的方法在微观和宏观两个方面都受到限制, 并且受到量子力学和混沌(CHAOS)学的挑战----量子力学求助于\"质点出现的几?quot;以便绕过\"测不准\"的困难; 混沌学则尚欠成熟,因为它虽然认识到真实世界中普遍存在的\"非线性系统\"的复杂性远远大于\"线性质点系统\", 却不知如何解决有关课题。
刘绍光\"一元数理论\"的方法是对于不同的物理系统选取不同的空间结构, 从而用数字系列直接拟合真实世界中的实体组合与事件。这种方法提供了一个值得探讨的新思路,有可能从微观到宏砚一举解决量子力学和混沌学中的棘手课题。 最后, 笔者感谢吾友刘宗超为本文初稿提出中肯的修改建议, 以及倪征综先生的关注。
在此,希望更多的朋友给我指教。参考文献: [1]刘绍光,一元数理论初探,中国展望出版社,1984。 [2]刘宗超,刘绍光及其一元数理论,载>1988(2)103-111 [3]勃罗斯库列亚柯夫, И。 В。,1949, 数与多项式,高等教育出版社,1956年版。
[4]康帕涅茨,亚。索。,理论物理学,人民教育出版社,1960。 [5]褚耀泉,从牛顿定律到爱因斯坦相对论,科学出版社,1981。 [6]菲赫金哥尔茨,数学分析原理。第一卷。
数，是数学中的基本概念，也是人类文明的重要组成部分。数的概念的每一次扩充都标志着数学的巨大飞跃。一个时代人们对于数的认识与应用，以及数系理论的完善程度，反映了当时数学发展的水平。今天，我们所应用的数系，已经构造的如此完备和缜密，以致于在科学技术和社会生活的一切领域中，它都成为基本的语言和不可或缺的工具。
在我们得心应手地享用这份人类文明的共同财富时，是否想到在数系形成和发展的历史过程中，人类的智慧所经历的曲折和艰辛呢？ 一、 记数法、位置制和零 人类在进化的蒙昧时期，就具有了一种“识数”的才能，心理学家称这种才能为“数觉”（perception of number）。
动物行为学家则认为，这种“数觉”并非为人类所独有。人类智慧的卓越之处在于他们发明了种种记数方法。《周易·系辞下》记载“上古结绳而治，后世圣人，易之以书契”。东汉郑玄称：“事大，大结其绳；事小，小结其绳。结之多少，随物众寡”。以结绳和书契记数的方法实际上遍及世界各地，如希腊、波斯、罗马、巴勒斯坦、伊斯兰和中美洲国家都有文献记载和实物标本。
直到1826年，英国财政部才决定停止采用符契作为法定记数器。随着人类社会的进步，数的语言也在不断发展和完善。数系发展的第一个里程碑出现了：位置制记数法。所谓位置制记数法，就是运用少量的符号，通过它们不同个数的排列，以表示不同的数。引起历史学家、数学史家兴趣的是，在自然环境和社会条件影响下，不同的文明创造了迥然不同的记数方法。
如巴比伦的楔形数字系统、埃及象形数字系统、希腊人字母数字系统、玛雅数字系统、印度—阿拉伯数字系统和中国的算筹记数系统。 最早发展的一类数系应该是简单分群数系（simple grouping system），如在公元前3400年埃及象形文字中就有实例,它是10进的，但却不是位置的。
在公元前3000到2000年之间，巴比伦人发展了60进位的定位数系（positional numeral system），它采用了位置制，却不是10进的。而最重要和最美妙的记数法则是10进位位置制记数法。 法国著名数学家拉普拉斯（Laplace,1749 – 1827）曾经写道： 用十个记号来表示一切的数，每个记号不但有绝对的值，而且有位置的值，这种巧妙的方法出自印度。
这是一个深远而又重要的思想，它今天看来如此简单，以致我们忽视了它的真正伟绩。但恰恰是它的简单性以及对一切计算都提供了极大的方便，才使我们的算术在一切有用的发明中列在首位；而当我们想到它竟逃过了古代最伟大的两位人物阿基米德和阿波罗尼斯的天才思想的关注时，我们更感到这成就的伟大了。
拉普拉斯的这段评论十分精彩，只可惜他张冠李戴，把这项发明归之于印度。现已有充分而确凿的史料证明，10进位位置制记数法最先产生于中国。这一点也为西方的一些数学史家所主张。李约瑟就曾指出“在西方后来所习见的‘印度数字’的背后，位置制已在中国存在了两千年。
”不过，10进位位置制记数法的产生不能单纯地归结为天才的智慧。记数法的进步是与计算工具的改进相联系的。研究表明，10进位位置制记数之产生于中国，是与算筹的使用与筹算制度的演进分不开的。 “0”作为记数法中的空位，在位置制记数的文明中是不可缺少的。
早期的巴比伦楔形文字和宋代以前的中国筹算记数法，都是留出空位而没有符号。印度人起初也是用空位表示零，后来记成点号“· ”，最后发展为圈号。印度数码在公元8世纪传入阿拉伯国家。13世纪初，意大利的商人斐波那契（Leonado Fibonacci, 1175 - 1250）编著《算经》（Liber Abacci,1202），把包括零号在内完整的印度数码介绍到了欧洲。
印度数码和10进位位置制记数法被欧洲人普遍接受后，在欧洲的科学和文明的进步中扮演了重要的角色。 二、大数记法 古代希腊人曾经提出一个问题：他们认为世界上的沙子是无穷的，即使不是无穷，也没有一个可以写出来的数超过沙子的数。阿基米德（Archimedes,BC287 - 212）的回答是：不。
在《数沙术》中，阿基米德以万（myriad）为基础，建立新的记数法，使得任何大的数都能表示出来。他的做法是：从1起到1亿（原文是万万，myriad myriads, 这里按照中文的习惯改称为亿）叫做第1级数；以亿（108）为第2 级数的单位，从亿到亿亿（108）2叫做第2级数；在以亿亿为单位，直到亿亿亿（108）3叫做第3级数。
直到第1亿级数的最后一数亿亿 。阿基米德算出充满宇宙的沙子的数目不过是1051,即使扩充到“恒星宇宙”，即以太阳到恒星的距离为半径的天球，也不过只能容纳1063个沙粒！ 同样的问题也出现在中国古代。汉代以前，数皆10进，以10万位亿。
韦昭解《国语·郑语》第十六：“计亿事，材兆物，收经入，行垓极”。注称“计，算也；材，裁也。贾唐说皆以万万为亿，郑后司农云：十万曰亿，十亿曰兆，从古数也。”《数术记遗》中则详细记载了对大数的一整套命名和三种进位方法。《数术记遗》称： 黄帝为法，数有十等，及其用也，乃有三焉。
十等者亿、兆、京、垓、秭、壤、沟、涧、正、载；三等者，谓上、中、下也。其下数者。十十变之，若言十万曰亿，十亿曰兆，十兆曰京也。中数者，万万变之，若言万万曰亿、万万亿曰兆，万万兆曰京。上数者，数穷则变，若言万万曰亿，亿亿曰兆，兆兆曰京也。从亿至载，终于大衍。
《数术记遗》中的“大数之法”的数学意义并不仅仅在于它构造了三种记数方法，更为重要的是它揭示了人们对数的认识从有限走向无限的艰难历程。客观的需要和数学的发展都促使人们去认识和把握越来越大的数。起初，对一些较大的数，人们还可以理解它，还能够利用已有的记数单位去表示它。
但是，随着人们认识的发展，这些大数也在迅速的扩张，原有的记数单位难以为用。人们不禁要问： 数有穷乎？ 这是数系发展中的需要回答的重大命题。《数术记遗》中记载的徐岳和他的老师刘洪的对话，精彩的阐明了“数穷则变”的深刻道理： 徐岳问曰：数有穷乎？ 会稽（刘洪）答曰：吾曾游天目山中，见有隐者，世莫知其名，号曰天目先生，余亦以此意问之。
先生曰：世人言三不能比两，乃云捐闷与四维。数不识三，妄谈知十。不辨积微之为量，讵晓百亿于大千？黄帝为法，数有十等。……从亿至载，终于大衍。 会稽问曰：先生之言，上数者数穷则变，既云终于大衍，大衍有限，此何得无穷？ 先生答曰：数之为用，言重则变，以小兼大，又加循环。
循环之理，且有穷乎！ 天目先生的做法是借助“以小兼大”的“循环之理”，以有限来认识无限，而指引这一途径的重要思想是“言重则变”。即便是今日，“数穷则变”这一朴素的辩证思维所蕴涵的深邃哲理仍值得人们深思。 三、 有理数系 位置制记数法的出现，标志着人类掌握的数的语言，已从少量的文字个体，发展到了一个具有完善运算规则的数系。
人类第一个认识的数系，就是常说的“自然数系”。但是，随着人类认识的发展，自然数系的缺陷也就逐渐显露出来。首先，自然数系是一个离散的、而不是稠密的数系[2] ，因此，作为量的表征，它只能限于去表示一个单位量的整数倍，而无法表示它的部分。同时，作为运算的手段，在自然数系中只能施行加法和乘法，而不能自由地施行它们的逆运算。
这些缺陷，由于分数和负数的出现而得以弥补。 有趣的是这些分数也都带有强烈的地域特征。巴比伦的分数是60进位的，埃及采用的是单分数(unit fraction)，阿拉伯的分数更加复杂：单分数、主分数和复合分数。这种繁复的分数表示必然导致分数运算方法的繁杂，所以欧洲分数理论长期停滞不前，直到15世纪以后才逐步形成现代的分数算法。
与之形成鲜明对照的是中国古代在分数理论上的卓越贡献。 原始的分数概念来源于对量的分割。如《说文·八部》对“分”的解释：“分，别也。从八从刀，刀以分别物也。”但是，《九章算术》中的分数是从除法运算引入的。其“合分术”有云：“实如法而一。
不满法者，以法命之。”这句话的今译是：被除数除以除数。如果不能除尽，便定义了一个分数。中国古代分数理论的高明之处是它借助于“齐同术”把握住了分数算法的精髓：通分。刘徽在《九章算术注》中所言： 众分错杂，非细不会。乘而散之，所以通之。通之则可并也。
凡母互乘子谓之齐，群母相乘谓之同。同者，相与通同共一母也。齐者，子与母齐，势不可失本数也。 有了齐同术，就可将分数化异类为同类，变相违为相通。刘徽深得其中奥秘，称：“然则齐同之术要矣。错综度数，动之斯谐，其犹佩觹解结，无往而不理焉。乘以散之，约以聚之，齐同以通之，此其算之纲纪乎。
” 容易证明，分数系是一个稠密的数系，它对于加、乘、除三种运算是封闭的。为了使得减法运算在数系内也同行无阻，负数的出现就是必然的了。盈余与不足、收入与支出、增加与减少是负数概念在生活中的实例，教科书在向学生讲授负数是也多循此途。这就产生一种误解：似乎人类正是从这种具有相反意义的量的认识而引进了负数的。
历史的事实表明：负数之所以最早为中算家所引进，这是由中国古代传统数学中，算法高度发达和筹算机械化的特点所决定的。负数的概念和算法首先出现在《九章算术》“方程”章，因为对“方程”进行两行之间的加减消元时，就必须引入负数和建立正负数的运算法则。刘徽的注释深刻的阐明了这点： 今两算得失相反，要令正负以名之。
正算赤，负算黑，否则以斜正为异。方程自有赤黑相取，左右数相推求之术。而其并减之势不得广通，故使赤黑相消夺之。……故赤黑相杂足以定上下之程，减益虽殊足以通左右之数，差实虽分足以应同异之率。然则其正无入负之，负无入正之，其率不妄也。 负数虽然通过阿拉伯人的著作传到了欧洲，但16世纪和17世纪的大多数数学家并不承认它们是数，或者即使承认了也并不认为它们是方程的根。
如丘凯（Nicolas Chuquet ，1445-1500）和斯蒂费尔（Stifel ,1486-1567） 都把负数说成是荒谬的数，是“无稽之零下”。卡丹(Cardan,1501- 1576) 把负数作为方程的根，但认为它们是不可能的解，仅仅是一些记号；他把负根称作是虚有的。
韦达(Vieta, 1540- 1630) 完全不要负数，巴斯卡（Pascal,1623- 1662） 则认为从0减去4纯粹是胡说。 负数是人类第一次越过正数域的范围，前此种种的经验，在负数面前全然无用。在数系发展的历史进程中，现实经验有时不仅无用，反而会成为一种阻碍。
我们将会看到，负数并不是惟一的例子。 四、 实数理论的完善 无理数的发现，击碎了Pythagoras学派“万物皆数”的美梦。同时暴露出有理数系的缺陷：一条直线上的有理数尽管是“稠密”，但是它却漏出了许多“孔隙”，而且这种“孔隙”多的“不可胜数”。
这样，古希腊人把有理数视为是连续衔接的那种算术连续统的设想，就彻底的破灭了。它的破灭，在以后两千多年时间内，对数学的发展，起到了深远的影响。不可通约的本质是什么？长期以来众说纷纭。两个不可通约量的比值也因其得不到正确的解释，而被认为是不可理喻的数。
15世纪达芬奇（Leonardo da Vinci, 1452- 1519） 把它们称为是“无理的数”（irrational number），开普勒（J。 Kepler, 1571- 1630）称它们是“不可名状”的数。这些“无理”而又“不可名状”的数，找到虽然在后来的运算中渐渐被使用，但是它们究竟是不是实实在在的数，却一直是个困扰人的问题。
中国古代数学在处理开方问题时，也不可避免地碰到无理根数。对于这种“开之不尽”的数，《九章算术》直截了当地“以面命之”予以接受，刘徽注释中的“求其微数”，实际上是用10进小数来无限逼近无理数。这本是一条完成实数系统的正确道路，只是刘徽的思想远远超越了他的时代，而未能引起后人的重视。
不过，中国传统数学关注的是数量的计算，对数的本质并没有太大的兴趣。（李）而善于究根问底的希腊人就无法迈过这道坎了。既然不能克服它，那就只好回避它。此后的希腊数学家，如欧多克斯（Eudoxus）、欧几里得（Euclid）在他们的几何学里，都严格避免把数与几何量等同起来。
欧多克斯的比例论（见《几何原本》第5卷），使几何学在逻辑上绕过了不可公度的障碍，但就在这以后的漫长时期中，形成了几何与算术的显著分离。 17、18世纪微积分的发展几乎吸引了所有数学家的注意力，恰恰是人们对微积分基础的关注，使得实数域的连续性问题再次突显出来。
因为，微积分是建立在极限运算基础上的变量数学，而极限运算，需要一个封闭的数域。无理数正是实数域连续性的关键。 无理数是什么？法国数学家柯西（A。Cauchy,1789- 1875）给出了回答：无理数是有理数序列的极限。然而按照柯西的极限定义，所谓有理数序列的极限，意即预先存在一个确定的数，使它与序列中各数的差值，当序列趋于无穷时，可以任意小。
但是，这个预先存在的“数”，又从何而来呢？在柯西看来，有理序列的极限，似乎是先验地存在的。这表明，柯西尽管是那个时代大分析学家，但仍未能摆脱两千多年来以几何直觉为立论基础的传统观念的影响。 变量数学独立建造完备数域的历史任务，终于在19世纪后半叶，由维尔斯特拉斯（Weierstrass,1815- 1897）、戴德金（R。
Dedekind1831- 1916）、康托（G。Cantor,1845- 1918）等人加以完成了。 1872年，是近代数学史上最值得纪念的一年。这一年，克莱因（F。Kline,1849- 1925）提出了著名的“埃尔朗根纲领”（Erlanger Programm），维尔斯特拉斯给出了处处连续但处处不可微函数的著名例子。
也正是在这一年，实数的三大派理论：戴德金“分割”理论；康托的“基本序列”理论，以及维尔斯特拉斯的“有界单调序列”理论，同时在德国出现了。 努力建立实数的目的，是为了给出一个形式化的逻辑定义，它既不依赖几何的含义，又避免用极限来定义无理数的逻辑错误。
有了这些定义做基础，微积分中关于极限的基本定理的推导，才不会有理论上的循环。导数和积分从而可以直接在这些定义上建立起来，免去任何与感性认识联系的性质。几何概念是不能给出充分明白和精确的，这在微积分发展的漫长岁月的过程中已经被证明。因此，必要的严格性只有通过数的概念，并且在割断数的概念与几何量观念的联系之后才能完全达到。
这里，戴德金的工作受到了崇高的评价，这是因为，由“戴德金分割”定义的实数，是完全不依赖于空间与时间直观的人类智慧的创造物。 实数的三大派理论本质上是对无理数给出严格定义，从而建立了完备的实数域。实数域的构造成功，使得两千多年来存在于算术与几何之间的鸿沟得以完全填平，无理数不再是“无理的数”了，古希腊人的算术连续统的设想，也终于在严格的科学意义下得以实现。
五、 复数的扩张 复数概念的进化是数学史中最奇特的一章，那就是数系的历史发展完全没有按照教科书所描述的逻辑连续性。人们没有等待实数的逻辑基础建立之后，才去尝试新的征程。在数系扩张的历史过程中，往往许多中间地带尚未得到完全认识，而天才的直觉随着勇敢者的步伐已经到达了遥远的前哨阵地。
1545年，此时的欧洲人尚未完全理解负数、无理数，然而他们智力又面临一个新的“怪物”的挑战。例如卡丹在所著《重要的艺术》（1545）中提出一个问题：把10分成两部分，使其乘积为40。这需要解方程x (10-x) = 40，他求得的根是 和 ，然后说“不管会受到多大的良心责备，”把 和 相乘，得到25—（—15）= 40。
于是他说，“算术就是这样神妙地搞下去，它的目标，正如常言所说，是有精致又不中用的。”笛卡尔（Descartes,1596-1650）也抛弃复根，并造出了“虚数”（imaginary number）这个名称。对复数的模糊认识，莱布尼兹（Leibniz,1646- 1716）的说法最有代表性：“圣灵在分析的奇观中找到了超凡的显示，这就是那个理想世界的端兆，那个介于存在与不存在之间的两栖物，那个我们称之为虚的—1的平方根。
” 直到18世纪，数学家们对复数才稍稍建立了一些信心。因为，不管什么地方，在数学的推理中间步骤中用了复数，结果都被证明是正确的。特别是1799年，高斯（Gauss,1777- 1855）关于“代数基本定理”的证明必须依赖对复数的承认，从而使复数的地位得到了近一步的巩固。
当然，这并不是说人们对“复数”的顾虑完全消除了。甚至在1831年，棣莫甘（De Morgan,1806- 1871） 在他的著作《论数学的研究和困难》中依然认为： 已经证明了记号 是没有意义的，或者甚至是自相矛盾或荒唐可笑的。然而，通过这些记号，代数中极其有用的一部分便建立起来的，它依赖于一件必须用经验来检验的事实，即代数的一般规则可以应用于这些式子（复数）。
…… 我们知道，18世纪是数学史上的“英雄世纪”，人们的热情是如何发挥微积分的威力，去扩大数学的领地，没有人会对实数系和复数系的逻辑基础而操心。既然复数至少在运算法则上还是直观可靠的，那又何必去自找麻烦呢？ 1797年，挪威的韦塞尔（C。
Wessel,1745-1818） 写了一篇论文“关于方向的分析表示”，试图利用向量来表示复数，遗憾的是这篇文章的重大价值直到1897年译成法文后，才被人们重视。瑞士人阿甘达（J。 Argand ,1768-1822） 给出复数的一个稍微不同的几何解释。
他注意到负数是正数的一个扩张，它是将方向和大小结合起来得出的，他的思路是：能否利用新增添某种新的概念来扩张实数系？在使人们接受复数方面，高斯的工作更为有效。他不仅将 a+ bi 表示为复平面上的一点 ( a, b)，而且阐述了复数的几何加法和乘法。
他还说，如果1, —1 和 原来不称为正、负和虚单位，而称为直、反和侧单位，那么人们对这些数就可能不会产生种种阴暗神秘的印象。他说几何表示可以使人们对虚数真正有一个新的看法，他引进术语“复数”（complex number）以与虚数相对立，并用 i 代替 。
在澄清复数概念的工作中，爱尔兰数学家哈米尔顿（Hamilton,1805 – 1865） 是非常重要的。哈米尔顿所关心的是算术的逻辑，并不满足于几何直观。他指出：复数a+ bi 不是 2 ＋ 3意义上的一个真正的和，加号的使用是历史的偶然，而 bi 不能加到a 上去。
复数a+ bi 只不过是实数的有序数对（a，b），并给出了有序数对的四则运算，同时，这些运算满足结合律、交换率和分配率。在这样的观点下，不仅复数被逻辑地建立在实数的基础上，而且至今还有点神秘的 也完全消除了。 回顾数系的历史发展，似乎给人这样一种印象：数系的每一次扩充，都是在旧的数系中添加新的元素。
如分数添加于整数，负数添加于正数，无理数添加于有理数，复数添加于实数。但是，现代数学的观点认为：数系的扩张，并不是在旧的数系中添加新元素，而是在旧的数系之外去构造一个新的代数系，其元素在形式上与旧的可以完全不同，但是，它包含一个与旧代数系同构的子集，这种同构必然保持新旧代数系之间具有完全相同的代数构造。
当人们澄清了复数的概念后，新的问题是：是否还能在保持复数基本性质的条件下对复数进行新的扩张呢？答案是否定的。当哈米尔顿试图寻找三维空间复数的类似物时，他发现自己被迫要做两个让步：第一，他的新数要包含四个分量；第二，他必须牺牲乘法交换率。这两个特点都是对传统数系的革命。
他称这新的数为“四元数”。“四元数”的出现昭示着传统观念下数系扩张的结束。1878年，富比尼（F。Frobenius, 1849 – 1917) 证明：具有有限个原始单元的、有乘法单位元素的实系数先行结合代数，如果服从结合律，那就只有实数，复数和实四元数的代数。
数学的思想一旦冲破传统模式的藩篱，便会产生无可估量的创造力。哈米尔顿的四元数的发明，使数学家们认识到既然可以抛弃实数和复数的交换性去构造一个有意义、有作用的新“数系”，那么就可以较为自由地考虑甚至偏离实数和复数的通常性质的代数构造。
数系的扩张虽然就此终止，但是，通向抽象代数的大门被打开了。 。
定义就是那么规定的.你说1+1为什么等于2呢?
答：（1） 二月份为3m-10(件） 三月份为6m-15(件） （2）a+bm+a+b(3m-10)+a+b(6m-15) =3a+10bm-25b(元）详情>>
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